Persamaan Lingkaran Rumus dan Cara Menghitungnya

ARTIKEL ini akan membahas secara mendalam tentang persamaan lingkaran, sebuah konsep fundamental dalam geometri analitik. Kita akan mengupas tuntas rumus-rumus yang terkait, metode perhitungan yang efektif, serta berbagai variasi soal yang sering muncul. Pemahaman yang baik tentang persamaan lingkaran akan sangat membantu dalam menyelesaikan berbagai permasalahan matematika dan fisika yang melibatkan bentuk geometri ini.

Memahami Konsep Dasar Lingkaran

Lingkaran, dalam definisi geometrisnya, adalah himpunan semua titik yang berjarak sama dari sebuah titik pusat. Jarak yang sama ini disebut jari-jari lingkaran. Konsep sederhana ini menjadi dasar bagi pengembangan persamaan lingkaran, yang memungkinkan kita untuk mendeskripsikan lingkaran secara aljabar.

Dalam koordinat Kartesius, sebuah lingkaran dapat direpresentasikan dengan persamaan yang menghubungkan koordinat x dan y dari setiap titik pada lingkaran dengan koordinat pusat lingkaran (a, b) dan jari-jari r. Persamaan ini memungkinkan kita untuk menentukan apakah suatu titik terletak pada lingkaran atau tidak, serta untuk menghitung berbagai properti lingkaran seperti luas dan keliling.

Baca juga : Persamaan Kuadrat: Rumus dan Contoh Penyelesaian

Persamaan lingkaran memiliki dua bentuk utama: persamaan lingkaran standar (atau persamaan pusat) dan persamaan lingkaran umum. Persamaan standar lebih mudah digunakan ketika kita mengetahui koordinat pusat dan jari-jari lingkaran, sedangkan persamaan umum lebih berguna ketika kita diberikan informasi lain tentang lingkaran, seperti tiga titik yang terletak pada lingkaran.

Persamaan Lingkaran Standar (Pusat)

Persamaan lingkaran standar, juga dikenal sebagai persamaan pusat, adalah bentuk persamaan lingkaran yang paling umum dan mudah dipahami. Persamaan ini dinyatakan sebagai:

(x – a)² + (y – b)² = r²

Baca juga : Rumus Limas: Memahami Geometri dengan Mudah

Di mana:

• (x, y) adalah koordinat dari setiap titik pada lingkaran.
• (a, b) adalah koordinat dari pusat lingkaran.
• r adalah jari-jari lingkaran.

Persamaan ini didasarkan pada teorema Pythagoras. Jarak antara titik (x, y) pada lingkaran dan pusat lingkaran (a, b) selalu sama dengan jari-jari r. Jarak ini dapat dihitung menggunakan rumus jarak:

√((x – a)² + (y – b)²) = r

Dengan mengkuadratkan kedua sisi persamaan, kita mendapatkan persamaan lingkaran standar.

Contoh:

Sebuah lingkaran memiliki pusat di (2, -3) dan jari-jari 5. Maka, persamaan lingkaran standarnya adalah:

Baca juga : Volume Limas: Rumus dan Contohnya dalam Soal Matematika

(x – 2)² + (y + 3)² = 25

Persamaan ini dapat digunakan untuk menentukan apakah suatu titik terletak pada lingkaran. Misalnya, titik (5, 1) terletak pada lingkaran karena:

(5 – 2)² + (1 + 3)² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25

Sedangkan titik (1, -1) tidak terletak pada lingkaran karena:

(1 – 2)² + (-1 + 3)² = (-1)² + 2² = 1 + 4 = 5 ≠ 25

Persamaan Lingkaran Umum

Persamaan lingkaran umum adalah bentuk persamaan lingkaran yang lebih kompleks, tetapi lebih fleksibel. Persamaan ini dinyatakan sebagai:

x² + y² + Ax + By + C = 0

Di mana A, B, dan C adalah konstanta.

Persamaan lingkaran umum dapat diubah menjadi persamaan lingkaran standar dengan menggunakan metode melengkapkan kuadrat. Proses ini melibatkan pengelompokan suku-suku x dan y, kemudian menambahkan dan mengurangkan konstanta yang sesuai untuk membentuk kuadrat sempurna.

Baca juga : Menghitung Volume Limas Rumus dan Contoh Soal

Langkah-langkah mengubah persamaan umum menjadi persamaan standar:

1. Kelompokkan suku-suku x dan y: (x² + Ax) + (y² + By) + C = 0
2. Lengkapkan kuadrat untuk suku-suku x: (x² + Ax + (A/2)²) + (y² + By) + C – (A/2)² = 0
3. Lengkapkan kuadrat untuk suku-suku y: (x² + Ax + (A/2)²) + (y² + By + (B/2)²) + C – (A/2)² – (B/2)² = 0
4. Faktorkan kuadrat sempurna: (x + A/2)² + (y + B/2)² = (A/2)² + (B/2)² – C

Dari persamaan standar yang diperoleh, kita dapat menentukan pusat lingkaran dan jari-jarinya:

• Pusat lingkaran: (-A/2, -B/2)
• Jari-jari lingkaran: √((A/2)² + (B/2)² – C)

Contoh:

Ubah persamaan lingkaran umum berikut menjadi persamaan standar:

x² + y² – 4x + 6y – 12 = 0

1. Kelompokkan suku-suku x dan y: (x² – 4x) + (y² + 6y) – 12 = 0
2. Lengkapkan kuadrat untuk suku-suku x: (x² – 4x + 4) + (y² + 6y) – 12 – 4 = 0
3. Lengkapkan kuadrat untuk suku-suku y: (x² – 4x + 4) + (y² + 6y + 9) – 12 – 4 – 9 = 0
4. Faktorkan kuadrat sempurna: (x – 2)² + (y + 3)² = 25

Dari persamaan standar yang diperoleh, kita dapat menentukan pusat lingkaran dan jari-jarinya:

• Pusat lingkaran: (2, -3)
• Jari-jari lingkaran: √25 = 5

Baca juga : Rumus Luas Permukaan Limas Segi Empat Penjelasan

Menentukan Persamaan Lingkaran dari Informasi yang Diketahui

Seringkali, kita tidak diberikan persamaan lingkaran secara langsung, tetapi kita diberikan informasi lain tentang lingkaran, seperti koordinat pusat dan jari-jari, atau tiga titik yang terletak pada lingkaran. Dalam kasus ini, kita perlu menggunakan informasi yang diberikan untuk menentukan persamaan lingkaran.

1. Diketahui Pusat dan Jari-jari:

Jika kita mengetahui koordinat pusat lingkaran (a, b) dan jari-jari r, kita dapat langsung menggunakan persamaan lingkaran standar:

(x – a)² + (y – b)² = r²

2. Diketahui Tiga Titik pada Lingkaran:

Jika kita mengetahui tiga titik yang terletak pada lingkaran, kita dapat menggunakan metode substitusi untuk menentukan persamaan lingkaran umum. Misalkan tiga titik tersebut adalah (x₁, y₁), (x₂, y₂), dan (x₃, y₃). Kita substitusikan koordinat ketiga titik ini ke dalam persamaan lingkaran umum:

x₁² + y₁² + Ax₁ + By₁ + C = 0

x₂² + y₂² + Ax₂ + By₂ + C = 0

x₃² + y₃² + Ax₃ + By₃ + C = 0

Kita mendapatkan sistem tiga persamaan linear dengan tiga variabel (A, B, dan C). Kita dapat menyelesaikan sistem persamaan ini untuk menemukan nilai A, B, dan C. Setelah kita menemukan nilai A, B, dan C, kita dapat mensubstitusikannya ke dalam persamaan lingkaran umum untuk mendapatkan persamaan lingkaran.

Baca juga : Deret Geometri Konsep dan Contoh dalam Matematika

Contoh:

Tentukan persamaan lingkaran yang melalui titik-titik (1, 1), (5, -1), dan (-2, 0).

Substitusikan koordinat ketiga titik ke dalam persamaan lingkaran umum:

1² + 1² + A(1) + B(1) + C = 0 => A + B + C = -2

5² + (-1)² + A(5) + B(-1) + C = 0 => 5A – B + C = -26

(-2)² + 0² + A(-2) + B(0) + C = 0 => -2A + C = -4

Selesaikan sistem persamaan linear ini untuk mendapatkan nilai A, B, dan C. Salah satu cara untuk menyelesaikan sistem persamaan ini adalah dengan menggunakan metode eliminasi atau substitusi.

Dari persamaan ketiga, kita dapatkan C = 2A – 4. Substitusikan ini ke dalam persamaan pertama dan kedua:

A + B + (2A – 4) = -2 => 3A + B = 2

5A – B + (2A – 4) = -26 => 7A – B = -22

Jumlahkan kedua persamaan ini untuk mengeliminasi B:

10A = -20 => A = -2

Substitusikan A = -2 ke dalam persamaan 3A + B = 2:

3(-2) + B = 2 => B = 8

Substitusikan A = -2 ke dalam persamaan C = 2A – 4:

C = 2(-2) – 4 => C = -8

Jadi, persamaan lingkaran umumnya adalah:

x² + y² – 2x + 8y – 8 = 0

Untuk mengubahnya ke persamaan standar, kita lengkapi kuadrat:

(x² – 2x + 1) + (y² + 8y + 16) – 8 – 1 – 16 = 0

(x – 1)² + (y + 4)² = 25

Pusat lingkaran adalah (1, -4) dan jari-jarinya adalah 5.

Baca juga : Deret Geometri Rumus dan Contoh Soal Praktis

Aplikasi Persamaan Lingkaran

Persamaan lingkaran memiliki banyak aplikasi dalam berbagai bidang, termasuk:

• Matematika: Persamaan lingkaran digunakan dalam geometri analitik untuk mempelajari sifat-sifat lingkaran, seperti luas, keliling, dan persamaan garis singgung.
• Fisika: Persamaan lingkaran digunakan untuk mendeskripsikan gerak melingkar, seperti gerak planet mengelilingi matahari atau gerak partikel dalam medan magnet.
• Teknik: Persamaan lingkaran digunakan dalam desain berbagai struktur, seperti jembatan, terowongan, dan roda gigi.
• Grafika Komputer: Persamaan lingkaran digunakan untuk menggambar lingkaran dan kurva melingkar pada layar komputer.
• Navigasi: Persamaan lingkaran digunakan dalam sistem navigasi untuk menentukan posisi dan arah.

Contoh Aplikasi:

1. Menentukan Jarak Terdekat antara Titik dan Lingkaran:

Misalkan kita memiliki sebuah titik P(x₀, y₀) dan sebuah lingkaran dengan pusat (a, b) dan jari-jari r. Jarak terdekat antara titik P dan lingkaran adalah jarak antara titik P dan pusat lingkaran dikurangi jari-jari lingkaran:

d = √((x₀ – a)² + (y₀ – b)²) – r

Jika d

Jika d = 0, maka titik P berada pada lingkaran.

Jika d > 0, maka titik P berada di luar lingkaran.

Baca juga : Jaring-Jaring Balok Konsep Dasar dalam Geometri

2. Menentukan Persamaan Garis Singgung Lingkaran:

Persamaan garis singgung lingkaran di titik (x₁, y₁) pada lingkaran (x – a)² + (y – b)² = r² adalah:

(x₁ – a)(x – a) + (y₁ – b)(y – b) = r²

Persamaan ini dapat digunakan untuk menentukan persamaan garis singgung lingkaran di titik manapun pada lingkaran.

Soal-Soal Latihan dan Pembahasan

Berikut adalah beberapa contoh soal latihan tentang persamaan lingkaran beserta pembahasannya:

Soal 1:

Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di (0, 0) dan memiliki jari-jari 3.

Pembahasan:

Karena pusat lingkaran adalah (0, 0), maka a = 0 dan b = 0. Jari-jari lingkaran adalah 3, maka r = 3. Substitusikan nilai-nilai ini ke dalam persamaan lingkaran standar:

(x – 0)² + (y – 0)² = 3²

x² + y² = 9

Jadi, persamaan lingkaran tersebut adalah x² + y² = 9.

Soal 2:

Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran dengan persamaan x² + y² – 6x + 4y – 12 = 0.

Pembahasan:

Ubah persamaan lingkaran umum ini menjadi persamaan standar dengan melengkapkan kuadrat:

(x² – 6x) + (y² + 4y) – 12 = 0

(x² – 6x + 9) + (y² + 4y + 4) – 12 – 9 – 4 = 0

(x – 3)² + (y + 2)² = 25

Dari persamaan standar ini, kita dapat menentukan pusat dan jari-jari lingkaran:

Pusat lingkaran: (3, -2)

Jari-jari lingkaran: √25 = 5

Soal 3:

Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x² + y² = 25 di titik (3, 4).

Pembahasan:

Persamaan lingkaran adalah x² + y² = 25, yang berarti pusat lingkaran adalah (0, 0) dan jari-jarinya adalah 5. Titik (3, 4) terletak pada lingkaran karena 3² + 4² = 9 + 16 = 25.

Gunakan persamaan garis singgung lingkaran:

(x₁ – a)(x – a) + (y₁ – b)(y – b) = r²

(3 – 0)(x – 0) + (4 – 0)(y – 0) = 25

3x + 4y = 25

Jadi, persamaan garis singgung lingkaran di titik (3, 4) adalah 3x + 4y = 25.

Kesimpulan

Persamaan lingkaran adalah alat yang ampuh untuk mendeskripsikan dan menganalisis lingkaran dalam geometri analitik. Pemahaman yang baik tentang persamaan lingkaran standar dan umum, serta metode untuk mengubah antara kedua bentuk ini, sangat penting untuk menyelesaikan berbagai permasalahan matematika dan fisika yang melibatkan lingkaran. Dengan menguasai konsep-konsep ini, Anda akan dapat dengan mudah menentukan persamaan lingkaran dari informasi yang diketahui, menghitung properti lingkaran, dan menerapkan persamaan lingkaran dalam berbagai aplikasi praktis.

Selain itu, latihan soal-soal yang beragam akan membantu memperkuat pemahaman Anda tentang persamaan lingkaran dan meningkatkan kemampuan Anda dalam menyelesaikan masalah yang lebih kompleks. Jangan ragu untuk mencari sumber-sumber belajar tambahan, seperti buku teks, video tutorial, dan situs web interaktif, untuk memperdalam pengetahuan Anda tentang topik ini.

Semoga artikel ini bermanfaat bagi Anda dalam memahami persamaan lingkaran dan aplikasinya. Selamat belajar dan semoga sukses! (I-2)